Exemples : résolution d'équations trigonométriques

Exemple 1
Résoudre dans \(\color{red}{\mathbb{R}}\), puis dans \(\color{blue}{[0\,;2\pi]}\), l'équation \(\cos(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Exactement deux points du cercle trigonométrique ont pour abscisse \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Ces deux points sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses :

• le point \(\text{A}\) qui est associé au réel \(\dfrac{\pi}{6}\) mais aussi à tous les réels de la forme \(\dfrac{\pi}{6}+k \times 2\pi\) où \(k\) est un entier relatif ;
• le point \(\text{B}\) qui est associé au réel \(-\dfrac{\pi}{6}\) mais aussi à tous les réels de la forme \(-\dfrac{\pi}{6}+\ell \times 2\pi\) où \(\ell\) est un entier relatif.

L'équation \(\cos(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) admet donc une infinité de solutions dans \(\color{red}{\mathbb{R}}\), l'ensemble des solutions étant \(\color{red}{\left\{\dfrac{\pi}{6}+k \times 2\pi, k\in\mathbb{Z}\right\}\cup\left\{-\dfrac{\pi}{6}+\ell \times 2\pi, \ell\in\mathbb{Z}\right\}}\). 
Les solutions de l'intervalle \(\color{blue}{[0\,;2\pi]}\) sont \(\color{blue}{\dfrac{\pi}{6}}\) et \(\color{blue}{\dfrac{5\pi}{6}}\).

Exemple 2
Résoudre dans \(\color{red}{\mathbb{R}}\), puis dans \(\color{blue}{]-\pi\,;\pi]}\), l'équation \(\sin(x)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

Exactement deux points du cercle trigonométrique ont pour ordonnée \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\). Ces deux points sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées :

• le point \(\text{C}\) qui est associé au réel \(-\dfrac{\pi}{4}\) mais aussi à tous les réels de la forme \(-\dfrac{\pi}{4}+k \times 2\pi\) où \(k\) est un entier relatif ;
• le point \(\text{D}\) qui est associé au réel \(-\dfrac{3\pi}{4}\) mais aussi à tous les réels de la forme \(-\dfrac{3\pi}{4}+\ell \times 2\pi\) où \(\ell\) est un entier relatif.

L'équation \(\sin(x)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) admet donc une infinité de solutions dans \(\color{red}{\mathbb{R}}\), l'ensemble des solutions étant \(\color{red}{\left\{-\dfrac{\pi}{4}+k \times 2\pi, k\in\mathbb{Z}\right\}\cup\left\{-\dfrac{3\pi}{4}+\ell \times 2\pi, \ell\in\mathbb{Z}\right\}}\). 
Les solutions de l'intervalle \(\color{blue}{]-\pi\,;\pi]}\) sont \(\color{blue}{-\dfrac{\pi}{4}}\) et \(\color{blue}{-\dfrac{3\pi}{4}}\).